\documentclass[paper=a4, fontsize=11pt]{scrartcl} % A4 paper and 11pt font size

\usepackage[T1]{fontenc} % Use 8-bit encoding that has 256 glyphs
\usepackage{fourier} % Use the Adobe Utopia font for the document - comment this line to return to the LaTeX default
\usepackage[english]{babel} % English language/hyphenation
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm} % Math packages
\usepackage[UTF8]{ctex}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{listings}
\usepackage{tikz}
\usepackage{lipsum} % Used for inserting dummy 'Lorem ipsum' text into the template
\usepackage{clrscode}
\usepackage{sectsty} % Allows customizing section commands
\usepackage[framed,numbered,autolinebreaks,useliterate]{mcode}
\usepackage{multirow}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage[colorlinks,linkcolor=red]{hyperref}
\usetikzlibrary{graphs}
\usetikzlibrary{shapes.arrows}
\allsectionsfont{\centering \normalfont\scshape} % Make all sections centered, the default font and small caps

\usepackage{fancyhdr} % Custom headers and footers
\pagestyle{fancyplain} % Makes all pages in the document conform to the custom headers and footers
\fancyhead{} % No page header - if you want one, create it in the same way as the footers below
\fancyfoot[L]{} % Empty left footer
\fancyfoot[C]{} % Empty center footer
\fancyfoot[R]{\thepage} % Page numbering for right footer
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % Remove header underlines
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % Remove footer underlines
\setlength{\headheight}{13.6pt} % Customize the height of the header

\numberwithin{equation}{section} % Number equations within sections (i.e. 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 instead of 1, 2, 3, 4)
\numberwithin{figure}{section} % Number figures within sections (i.e. 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 instead of 1, 2, 3, 4)
\numberwithin{table}{section} % Number tables within sections (i.e. 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 instead of 1, 2, 3, 4)

\setlength\parindent{0pt} % Removes all indentation from paragraphs - comment this line for an assignment with lots of text

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	TITLE SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

\newcommand{\horrule}[1]{\rule{\linewidth}{#1}} % Create horizontal rule command with 1 argument of height

\title{
\normalfont \normalsize
\textsc{中国科学院大学}\ \textsc{计算机与控制学院} \\ [25pt] % Your university, school and/or department name(s)
\horrule{0.5pt} \\[0.4cm] % Thin top horizontal rule
\huge 图像处理与分析第六次作业 \\ % The assignment title
\horrule{2pt} \\[0.5cm] % Thick bottom horizontal rule
}

\author{黎吉国&201618013229046} % Your name

\date{\normalsize\today} % Today's date or a custom date

\begin{document}

\maketitle % Print the title
\newpage
\section{answer for 1st}
考虑在$x$方向均匀加速导致图像模糊的问题，如果图像在$t=0$静止，并用均匀加速$x_0(t)=at^2/2$加速，对于时间$T$，找出模糊函数$H(u,v)$，
可以假设快门开关时间忽略不计。
\\
\textbf{解：}\\
假设运动函数为$\{ x_0(t),y_0(t) \}$，
则退化函数为$H(u,v)=\int_0^T \exp{ \{-j2\pi (ux_0(t)+vy_0(t)) \} }$\\
对于$x_0(t)=at^2/2,y_0(t)=0$,有
\[
H(u,v)=\int_0^T \exp{ \{ -j\pi uat^2 \} }dt
\]
这是一个不可积函数。


\section{answer for 2ed}
已知一个退化系统的退化函数$H(u,v)$，以及噪声的均值和方差，请描述如何利用约数最小二乘方算法计算出原图像的估计。\\
\textbf{解：}\\
频域中的原图像的估计由下式给出
\[ \hat{F}(u,v) = [ \frac{H^* (u,v)}{ |H(u,v)|^2+\gamma |P(u,v)|^2} ]G(u,v) \]
其中$\gamma$是一个参数，$P(u,v)$是函数$p(x,y)$的傅里叶变换。\\
定义残差：$\mathbf{r}=\mathbf{g}-\mathbf{H}\hat{f}$，由于$\hat{F}(u,v)$是$\gamma$的函数，则$\hat{f}$和$r$都是$\gamma$的函数，
令$\phi(\gamma)=\mathbf{r}^T \mathbf{r}=\| r\|^2$,则它是$r$的单调函数。再调整$\gamma$使得$\| r \|^2=\| \eta \|^2\pm a$,
$a$是一个精确因子。已知噪声的均值为$m_u$，方差$\sigma_\eta^2$和$H(u,v),P(u,v)$。
\begin{enumerate}
  \item 设定一个$\gamma$的初始值。
  \item 计算$\| r \|^2$.
  \item 若满足$\| r \|^2=\| \eta \|^2\pm a$则执行第四步，否则，调整$\gamma$的大小，然后返回第二步。
  \item 使用最新的$\gamma$，计算
  \[  \hat{F}(u,v) = [ \frac{H^* (u,v)}{ |H(u,v)|^2+\gamma |P(u,v)|^2} ]G(u,v) \]
  \item 再通过傅里叶变换得到空域的图像。
\end{enumerate}

\section{answer for 3th}
r,g,b是RGB色彩空间沿R,G,B轴的分量的单位向量，定义向量
\[ u=\frac{\partial R}{\partial x}r + \frac{\partial G}{\partial x}g + \frac{\partial B}{\partial x}b \]
\[ v=\frac{\partial R}{\partial y}r + \frac{\partial G}{\partial y}g + \frac{\partial B}{\partial y}b \]
向量的点乘为：
\[ g_{xx}=u\cdot u=u^T u=\| \frac{\partial R}{\partial x} \|^2 + \| \frac{\partial G}{\partial x} \|^2 + \| \frac{\partial B}{\partial x} \|^2 \]
\[ g_{xx}=v\cdot v=v^T v=\| \frac{\partial R}{\partial y} \|^2 + \| \frac{\partial G}{\partial y} \|^2 + \| \frac{\partial B}{\partial y} \|^2 \]
\[ g_{xx}=u\cdot v=u^T v= \frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial R}{\partial y}  + \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial G}{\partial y} +  \frac{\partial B}{\partial x} \frac{\partial B}{\partial y} \]
推导出最大变化率方向$\theta$和$(x,y)$在$\theta$方向上的变化率的值$F(\theta)$.
\\
\textbf{解：}\\
最大变化率的方向，即找到一个角度$\theta$，使得$u$和$v$在这个方向上的投影之和的长度最大。
\[
\begin{split}
| u\cos{\theta}+v\sin{\theta} | &= u^2\cos^2{\theta}+2uv\sin{\theta}\cos{\theta}+v^2\sin^2{\theta}\\
&= \frac{1}{2}(g_{xx}+g_{yy})+\frac{1}{2}(g_{xx}-g_{yy})\cos{2\theta}+g_{xy}\sin{2\theta}\\
\frac{\partial}{\partial \theta}\frac{1}{2}(g_{xx}+g_{yy})+\frac{1}{2}(g_{xx}-g_{yy})\cos{2\theta}+g_{xy}\sin{2\theta}&= -(g_{xx}-g_{yy})\sin{2\theta}+2g_{xy}\cos{2\theta}\\
&=0\\
\theta &= \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{2g_{xy}}{g_{xx}-g_{yy}}\\
F(\theta)&= \sqrt{ \frac{1}{2}(g_{xx}+g_{yy})+\frac{1}{2}(g_{xx}+g_{yy})\cos{2\theta} + g_{xy}\sin{2\theta}  }
\end{split}
\]

\section{answer for 4th}
根据Z变换的定义，证明如下结论。
\begin{enumerate}
  \item 若$x(n)$的z变换为$X(z)$，则$(-1)^n x(n)$的Z变换为$X(-z)$.
  \item 若$x(n)$的Z变换为$X(z)$，则$x(-n)$的Z变换为$X(\frac{1}{z})$.
\end{enumerate}
\textbf{解：}\\
\begin{enumerate}
  \item Z变换的定义
  \[ \mathcal{Z}\{x(n)\}=\sum_{n=1}^{N} x(n)z^{-n}  \]
  \item $(-1)^n x(n)$的Z变换
  \[ \mathcal{Z}\{ (-1)^{n}x(n) \}= \sum_{n=1}^{N} (-1)^n x(n)z^{-n}=\sum_{n=1}^{N} x(n)(-z)^{-n}=X(-z) \]
  \item $x(-n)$的Z变换
  \[ \mathcal{Z}\{ x(-n) \}= \sum_{n=1}^{N} x(-n)z^{-n} = \sum_{n=1}^{N} x(-n)(z^{-1})^{-(-n)}=X(z^{-1}) \]
\end{enumerate}
\end{document}
